1.高分子链的柔顺性

本次文献分享首先和大家一起回忆一下高分子物理里的相关概念^[1]。高分子的主链虽然很长，但通常并不是伸直的，由于单键的内旋转，高分子在空间的形态可以有无穷多个。由于单键内旋转而产生的分子在空间中的不同形态称为构象。高分子链能够改变其构象的性质称为柔顺性，这是高聚物许多性能不同于小分子的重要原因。

图 1. 聚乙烯的内旋转位能曲线^[1]

单键内旋转时由于非近邻原子之间的相互作用使反式和旁式之间相互跃迁的位垒不等，两者之差为Δε。如果Δε值稍大，则单键的反式构象占优势，使链的局部变刚性，而从链的整体来说还是柔顺的。此时，我们可以把这条链看作由许多刚性的“链段组成的柔性链，只是把每个链段看作是一个连接的单元，链段长度a又称为持续长度(persistence length)，可由以下式子定义：

其中l为单键键长。当Δε趋近于0时，持续长度趋近于单键键长，此时是最柔顺的链。当Δε增大远大于1时，持续长度随之增大，如果持续长度大到与整个链的长度一样时，高分子链相当于由一个刚性的链段组成，这就是最刚性的棒状分子，没有什么柔性可言了。实际上高分子的结构要比小分子复杂得多，无法推算也无法测定Δε，因此持续长度也无法求得。为了进一步说明高分子链的柔顺性，研究者提出了“蠕虫状模型”的概念。

2.持续长度计算

对于自由结合链，相邻键或相邻链段间的夹角是任意的。这种模型适合描述柔性链的构象。而实际高分子链，键角是一定的，一旦第一个键的方向确定，在其后面的各个键在空间的取向就要受到约束，不再是任意的了。这导致了链的柔性降低，或者说使之具有一定的刚性。刚性与柔性是相对而言的，称柔性占主导地位的链为柔性链，称刚性占主导地位的链为刚性链，介于中间的则称为半刚性链。已知的典型刚性链有纤维素衍生物、聚异氰酸酯、脱氧核糖核酸（DNA）、肌动蛋白等。为了描述半刚性高分子链，Porod和Kratky提出了一种模型，称为蠕虫状链。

图2. 自由结合链模型图

假定高分子是自由结合链，包含n个长度为l的键，键角为π-ϴ，总长为L=nl，假定把第一个键固定在z轴方向，此链在z轴上的投影的平均值为：

             (1)

当链足够长，即  时：

               (2)

此值称为持续长度，用a来表示。持续长度a的物理意义是无限长的自由旋转链在第一个键的方向上投影的平均值。它可以看作是链保持某个给定方向的倾向，也是高分子链的刚性尺度。

下面，我们再求另一个极限。假定使分子的总长L和持续长度a保持不变，把键长无限分割，而且ϴ角也无限缩小，以致ϴ→0，使高分子链的形状从棱角清晰的无规折线变成方向逐渐改变的蠕虫状线条。此时，可由式(1)推导得到：

           (3)

上式表达了高分子链在第一个键方向上的平均投影⟨z⟩与轮廓长度L及持续长度a之间的关系。如果是一条无限长的链，L→∞，⟨z⟩→a，这与式(2)所表达的a的物理意义刚好一致。根据式(3)，我们可以求得链的均方末端距与L及持续长度a的关系为：

  (4)

值得注意的是，在这个式子里只有三个变量，即为均方末端距、轮廓长度L以及持续长度a。当我们可以测量高分子链的均方末端距以及轮廓长度时，即可根据上述公式拟合得到持续长度a的值，以此来进行高分子链柔顺性的比较。这也是目前常用的持续长度测量方法之一，即均方末端距测量法(mean-squared end-to-end distance, MSED)。^[2]例如，在这篇2006年在《Nature Nanotechnology》上发表的工作中，研究者通过AFM测量出DNA链的构象，并通过测量DNA链的均方末端距和轮廓长度推算其持续长度大小（图3）。^[3]

图3. 利用MSED方法进行持续长度测量^[3]

此外，持续长度同样可以通过键相关函数(bond correlation function, BCF)进行测量。在式(2)中，我们建立了持续长度a和单键键角θ的关系，利用该式我们可知在图4中经过n个键之后的p点和q点之间的键角𝜃(𝑠)存在下列关系：

当n为无穷大时，简化可得：

        (5)

依据该式子我们就可以通过测量高分子链的轮廓长度s和切向量相关函数得到持续长度的大小。

图4. 利用BCF方法进行持续长度测量^[2]

3.实验部分

本次要介绍的文章正是通过测量蛋白纤维的持续长度来对其组装过程进行探索。^[4]蛋白质组装是自然界中的普遍现象，球状蛋白质可以通过可逆组装形成纤维结构，肌动蛋白、微管蛋白等均能在生理环境下完成此类可逆纤维组装。除此之外，蛋白质还会发生不可逆的淀粉样纤维化，该过程与阿尔茨海默病等多种神经退行性疾病密切相关。这类淀粉样纤维普遍具有长程无分支、常呈螺旋扭曲的特征，其直径仅为数纳米级别。不仅如此，大量多肽与球状食品蛋白，在体外环境中也可形成类淀粉样纤维结构。蛋白纤维化的典型代表之一是β-乳球蛋白经加热处理后，可形成热致凝胶纤维结构。但在当时，纳米尺度上纤维的详细结构和形成机制尚不清楚。

在本次分享的相关文献研究工作中，研究人员首先采用原子力显微镜完成纤维相关测试表征。研究发现，β-乳球蛋白能够形成数微米级别的半柔性纤维。AFM显示纤维的高度主要集中在4 nm，同时也有2 nm和6 nm高度的纤维。统计数据同样显示有超过6nm高度的纤维存在。同时研究人员观测到纤维存在分叉与变薄的形态特征，该纤维还具备周期性螺旋结构，且其周期变化会随纤维高度呈线性增长趋势（图5）。

图5. 借助AFM对蛋白纤维进行统计测量

随后研究人员利用上述介绍的键相关函数，即 BCF 方法，测定蛋白质纤维的持续长度，结果发现蛋白质纤维持续长度与纤维高度，也就是原丝数量呈线性相关（图 6）。

图 6. 蛋白质纤维持续长度与其原丝数目的关系

研究人员基于该线性关系进一步探究了纤维的生长机制。该螺旋纤维主要存在两种生长模式：第一种为两根纤维直接相互缠绕组装（model 1，图7）；第二种是两根原丝先聚集形成带状结构，再进一步发生螺旋卷曲（model 2，图7）。为明确该淀粉样纤维的具体螺旋组装途径，研究人员对上述两种生长模型开展了分析。

图 7. 蛋白质纤维可能的螺旋机制

在这里，他们运用了持续长度λ和截面惯性矩I的关系，将持续长度与螺旋纤维的几何特征相联系。截面惯性矩是力学中用于描述截面抵抗弯曲能力的几何量。它衡量了截面上各点相对于中性轴（通常是弯曲轴）分布的“偏离程度”，偏离越远，对弯曲的抵抗能力越大。在模型一中，多股纤维直接缠绕时，其截面可近似视为圆柱形，此时截面积 A 与原丝数目 n 的二分之一次方成正比。结合图示公式推导可得，纤维持续长度最终与原丝数目 n 的二次方呈正比关系。该结论与实验观测所得的截面惯性矩和原丝数目 n 成线性关系的结果不相吻合。由此研究人员判定，蛋白质纤维的螺旋形成机制并非模型一，继而进一步对模型二展开分析研究。

图 8. 模型一中持续长度与原丝数目之间的关系推导

模型二中纤维先聚集成条带再发生螺旋，因此此类螺旋纤维的截面可近似为长方形，其特征如图9所示。因其截面为非对称长方形，故而截面惯性矩需通过两个不同数值进行表征。因为持续长度与弯曲原纤维所需的能量成正比，所以它本质上反映了能量最低的弯曲模式，即截面惯性矩最低的模式，因此作者选取了图9中红框所示截面惯性矩进行后续推导。由此，研究人员发现在模型二中持续长度与原丝纤维数成正比，符合实验观测。因此，他们认为淀粉样纤维的组装路径是先聚集形成条带，再进一步螺旋。

图 9. 模型二中持续长度与原丝数目之间的关系推导

在这篇工作中，该研究团队将高分子物理相关理论概念拓展应用至蛋白质纤维体系，结合持续长度分析，依托原子力显微镜观测图像，对淀粉样蛋白纤维的组装形成过程进行推演。在此之后，持续长度的概念同样也被推广至小分子组装等其他领域。^[5]

^参考文献

[1]何曼君, 张红东, 陈维孝, 董西侠. 高分子物理 第3版 [M]. 上海: 复旦大学出版社, 2019.

[2]Usov I, Mezzenga R. Fiberapp: An Open-Source Software for Tracking and Analyzing Polymers, Filaments, Biomacromolecules, and Fibrous Objects [J]. Macromolecules, 2015, 48(5): 1269-1280.

[3]Wiggins P A, van der Heijden T, Moreno-Herrero F, et al. High Flexibility of DNA on Short Length Scales Probed by Atomic Force Microscopy [J]. Nature Nanotechnology, 2006, 1(2): 137-141.

[4]Adamcik J, Jung J-M, Flakowski J, et al. Understanding Amyloid Aggregation by Statistical Analysis of Atomic Force Microscopy Images [J]. Nature Nanotechnology, 2010, 5(6): 423-428.

[5]Godbe J M, Freeman R, Lewis J A, et al. Hydrogen Bonding Stiffens Peptide Amphiphile Supramolecular Filaments by Aza-Glycine Residues [J]. Acta Biomaterialia, 2021, 135: 87-99.

编辑：卞欣雨